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出典：平成30年度入学試験問題「総合 II」（問1〜問25・全25問・90分）
構成：問1〜6＝社会・時事・地学／問7〜15＝物理／問16〜25＝数学
※各問の配点は6点（連問(a)(b)は各3点）。
正解一覧（早見表）
問1 正解：(3) 〔社会・時事〕 難易度：やや難
(ア)＝誤 ：平成27年の公職選挙法改正で選挙権年齢は「満20歳→満18歳 」（19歳ではない）。(イ)＝正 ：平成28年、航空機へのレーザー光照射を禁止する航空法施行規則改正。(ウ)＝誤 ：裁判員制度は裁判官3人＋裁判員6人 （12人ではない）、刑事 事件（民事ではない）。
→ 誤・正・誤 ＝ (3) 。
問2 正解：(1) 〔社会・時事〕 難易度：やや難
(ア)＝誤 ：ボブ・ディランはノーベル文学賞 （平和賞ではない）。(イ)＝誤 ：英国EU国民投票は離脱票 が上回った（残留ではない）。(ウ)＝誤 ：最高裁はGPS捜査を令状が必要な強制捜査 と判断（任意捜査ではない）。
→ 誤・誤・誤 ＝ (1) 。
問3 正解：(5) 〔社会・国会の種類〕 難易度：標準
(ア)＝1 （常会は毎年1月召集）、(イ)＝150 （会期150日）、(ウ)＝1/4 （臨時会は総議員の1/4以上の要求）、(エ)＝30 （特別会は総選挙後30日以内）。
→ (5) 。
問4 正解：(3) 〔社会・空港運営の民間委託〕 難易度：やや難
(ア)＝国管理空港 、(イ)＝福岡空港 （年間約2137万人で最大規模・3件目）、(ウ)＝滑走路等とターミナルビル等 を一体運営。
→ (3) 。
問5 正解：(5) 〔地学・オゾンホール〕 難易度：標準
(ア)＝紫外線 （低緯度で多く生成）、(イ)＝フロン （分解して塩素分子）、(ウ)＝一酸化二窒素 （化石燃料・窒素肥料から放出）。
→ (5) 。
問6 正解：(2) 〔地学・台風〕 難易度：標準
(ア)＝積乱雲 、(イ)＝17 （最大風速17 m/s以上）、(ウ)＝反時計 （北半球で反時計回りに吹き込む）。
→ (2) 。
問7 正解：(a)→(3)、(b)→(5) 〔物理・等加速度運動〕 難易度：標準
右向き20 m/s →10秒後に左向き10 m/s。加速度 a = − 10 − 20 10 = − 3 a=\dfrac{-10-20}{10}=-3 a = 10 − 10 − 20 = − 3 (a) 力 F = m a = 10 × 3 = 30 F=ma=10\times3=30 F = ma = 10 × 3 = 30 (a)＝(3) 30 N 。
(b) 速さ0になるのは右向き運動の折り返し点。出発点からの距離 = v 0 2 2 ∣ a ∣ = 20 2 2 × 3 = 400 6 ≈ 67 =\dfrac{v_0^2}{2|a|}=\dfrac{20^2}{2\times3}=\dfrac{400}{6}\approx67 = 2∣ a ∣ v 0 2 = 2 × 3 2 0 2 = 6 400 ≈ 67 (b)＝(5) 67 m 。
問8 正解：(5) 〔物理・斜方投射〕 難易度：やや難
崖の高さ h h h v 0 v_0 v 0 2 h 2h 2 h 2 h = v 0 2 t ⇒ t = 2 2 h v 0 2h=\dfrac{v_0}{\sqrt2}t \Rightarrow t=\dfrac{2\sqrt2 h}{v_0} 2 h = 2 v 0 t ⇒ t = v 0 2 2 h 0 = h + v 0 2 t − g 2 t 2 0=h+\dfrac{v_0}{\sqrt2}t-\dfrac g2 t^2 0 = h + 2 v 0 t − 2 g t 2 v 0 2 t = 2 h \dfrac{v_0}{\sqrt2}t=2h 2 v 0 t = 2 h 0 = h + 2 h − g 2 t 2 ⇒ t 2 = 6 h g 0=h+2h-\dfrac g2 t^2 \Rightarrow t^2=\dfrac{6h}{g} 0 = h + 2 h − 2 g t 2 ⇒ t 2 = g 6 h t 2 = 8 h 2 v 0 2 = 6 h g ⇒ v 0 2 = 4 g h 3 ⇒ v 0 = 2 g h 3 t^2=\dfrac{8h^2}{v_0^2}=\dfrac{6h}{g} \Rightarrow v_0^2=\dfrac{4gh}{3} \Rightarrow v_0=2\sqrt{\dfrac{gh}{3}} t 2 = v 0 2 8 h 2 = g 6 h ⇒ v 0 2 = 3 4 g h ⇒ v 0 = 2 3 g h (5) 2 g h 3 2\sqrt{\dfrac{gh}{3}} 2 3 g h 。
問9 正解：(4) 〔物理・位置エネルギー→熱〕 難易度：標準
m g h = m c Δ T ⇒ Δ T = g h c = 9.8 × 100 4200 ≈ 0.23 mgh=mc\Delta T \Rightarrow \Delta T=\dfrac{gh}{c}=\dfrac{9.8\times100}{4200}\approx0.23 m g h = m c Δ T ⇒ Δ T = c g h = 4200 9.8 × 100 ≈ 0.23 c = 4.2 c=4.2 c = 4.2 = 4200 =4200 = 4200 (4) 0.23 ℃ 。
問10 正解：(2) 〔物理・円運動と摩擦〕 難易度：やや難
滑り出す条件：最大静止摩擦＝向心力。μ m g = m ω 2 r ⇒ ω 2 = μ g r = 0.5 × 10 0.2 = 25 \mu mg=m\omega^2 r \Rightarrow \omega^2=\dfrac{\mu g}{r}=\dfrac{0.5\times10}{0.2}=25 μ m g = m ω 2 r ⇒ ω 2 = r μg = 0.2 0.5 × 10 = 25 ω = 5 \omega=5 ω = 5 n = ω 2 π = 5 2 π ≈ 0.80 n=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{5}{2\pi}\approx0.80 n = 2 π ω = 2 π 5 ≈ 0.80 (2) 0.80 回/s 。
問11 正解：(a)→(2)、(b)→(3) 〔物理・運動量保存〕 難易度：標準
A(3 kg, 5 m/s 右)、B(1 kg, 3 m/s 上)が一体化。
(a) x方向：3 × 5 = 4 v x ⇒ v x = 3.75 ≈ 3.8 3\times5=4v_x \Rightarrow v_x=3.75\approx3.8 3 × 5 = 4 v x ⇒ v x = 3.75 ≈ 3.8 (a)＝(2) 。
(b) y方向：1 × 3 = 4 v y ⇒ v y = 0.75 1\times3=4v_y \Rightarrow v_y=0.75 1 × 3 = 4 v y ⇒ v y = 0.75 (b)＝(3) 。
問12 正解：(1) 〔物理・ドップラー効果〕 難易度：やや難
円運動するラジコン。最接近時 f m a x = V f V − v f_{max}=\dfrac{Vf}{V-v} f ma x = V − v V f f m i n = V f V + v f_{min}=\dfrac{Vf}{V+v} f min = V + v V f f m a x − f m i n f m a x + f m i n = v V \dfrac{f_{max}-f_{min}}{f_{max}+f_{min}}=\dfrac{v}{V} f ma x + f min f ma x − f min = V v
v = f m a x − f m i n f m a x + f m i n V . v=\frac{f_{max}-f_{min}}{f_{max}+f_{min}}V. v = f ma x + f min f ma x − f min V . → (1) 。
問13 正解：(3) 〔物理・直流回路〕 難易度：やや難
中央ノードM（Rxの上）に3枝が集まる並列回路。V M = U V_M=U V M = U
1.5 − U 10 + 4.5 − U 2.0 = 0.60. \frac{1.5-U}{10}+\frac{4.5-U}{2.0}=0.60. 10 1.5 − U + 2.0 4.5 − U = 0.60. 解くと U = 3 U=3 U = 3 R x = U 0.60 = 3 0.60 = 5.0 Ω R_x=\dfrac{U}{0.60}=\dfrac{3}{0.60}=5.0\ \Omega R x = 0.60 U = 0.60 3 = 5.0 Ω (3) 5.0 Ω 。
問14 正解：(4) 〔物理・クーロン力〕 難易度：やや難
糸が45°なので tan 45 ° = 1 = F m g \tan45°=1=\dfrac{F}{mg} tan 45° = 1 = m g F F = m g F=mg F = m g F = k Q q r 2 = m g F=\dfrac{kQq}{r^2}=mg F = r 2 k Qq = m g
Q = m g r 2 k q = 1.5 × 10 − 3 × 9.8 × 0.30 2 9.0 × 10 9 × 3.3 × 10 − 6 ≈ 4.5 × 10 − 8 C . Q=\frac{mg\,r^2}{kq}=\frac{1.5\times10^{-3}\times9.8\times0.30^2}{9.0\times10^9\times3.3\times10^{-6}}\approx4.5\times10^{-8}\ \text{C}. Q = k q m g r 2 = 9.0 × 1 0 9 × 3.3 × 1 0 − 6 1.5 × 1 0 − 3 × 9.8 × 0.3 0 2 ≈ 4.5 × 1 0 − 8 C . → (4) 4.5×10⁻⁸ C 。
問15 正解：(a)→(2)、(b)→(5) 〔物理・電流の磁界と力〕 難易度：難
導線P(6.0 A 下向き)、Q(2.0 A 上向き)、R(3.0 A 上向き)。H = I 2 π d H=\dfrac{I}{2\pi d} H = 2 π d I (a) R位置：H P = 6.0 2 π × 0.30 = 10 π H_P=\dfrac{6.0}{2\pi\times0.30}=\dfrac{10}{\pi} H P = 2 π × 0.30 6.0 = π 10 H Q = 2.0 2 π × 0.20 = 5 π H_Q=\dfrac{2.0}{2\pi\times0.20}=\dfrac{5}{\pi} H Q = 2 π × 0.20 2.0 = π 5 Rでの磁界は逆向き なので差をとる：H = 10 π − 5 π = 5 π ≈ 1.6 H=\dfrac{10}{\pi}-\dfrac{5}{\pi}=\dfrac{5}{\pi}\approx1.6 H = π 10 − π 5 = π 5 ≈ 1.6 (a)＝(2) 1.6 A/m 。
(b) Q位置での磁束密度：B P = μ 0 6.0 2 π × 0.10 = 1.2 × 10 − 5 B_P=\mu_0\dfrac{6.0}{2\pi\times0.10}=1.2\times10^{-5} B P = μ 0 2 π × 0.10 6.0 = 1.2 × 1 0 − 5 B R = μ 0 3.0 2 π × 0.20 = 3.0 × 10 − 6 B_R=\mu_0\dfrac{3.0}{2\pi\times0.20}=3.0\times10^{-6} B R = μ 0 2 π × 0.20 3.0 = 3.0 × 1 0 − 6 同方向で和 。
F = ( B P + B R ) I Q L = ( 1.2 × 10 − 5 + 0.3 × 10 − 5 ) × 2.0 × 1.0 = 3.0 × 10 − 5 F=(B_P+B_R)I_Q L=(1.2\times10^{-5}+0.3\times10^{-5})\times2.0\times1.0=3.0\times10^{-5} F = ( B P + B R ) I Q L = ( 1.2 × 1 0 − 5 + 0.3 × 1 0 − 5 ) × 2.0 × 1.0 = 3.0 × 1 0 − 5 (b)＝(5) 3.0×10⁻⁵ N 。
電流の向き（P下・Q,R上）を図から正確に読むことが必須。
問16 正解：(3) 〔数学・有理化の和（telescoping）〕 難易度：やや難
1 k + k + 1 = k + 1 − k \dfrac{1}{\sqrt k+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt k k + k + 1 1 = k + 1 − k
∑ k = 1 120 ( k + 1 − k ) = 121 − 1 = 11 − 1 = 10. \sum_{k=1}^{120}(\sqrt{k+1}-\sqrt k)=\sqrt{121}-\sqrt1=11-1=10. k = 1 ∑ 120 ( k + 1 − k ) = 121 − 1 = 11 − 1 = 10. → (3) 10 。
問17 正解：(5) 〔数学・面積の範囲〕 難易度：やや難
ひし形の対角線 p , q p,q p , q p + q = a p+q=a p + q = a S = 1 2 p q S=\dfrac12 pq S = 2 1 pq p q ≤ ( p + q 2 ) 2 = a 2 4 pq\le\left(\dfrac{p+q}{2}\right)^2=\dfrac{a^2}{4} pq ≤ ( 2 p + q ) 2 = 4 a 2 S ≤ a 2 8 S\le\dfrac{a^2}{8} S ≤ 8 a 2 S > 0 S>0 S > 0 (5) 0 < S ≤ a 2 8 0<S\le\dfrac{a^2}{8} 0 < S ≤ 8 a 2 。
問18 正解：(a)→(4)、(b)→(2) 〔数学・余弦定理と面積〕 難易度：標準〜やや難
∠ A = 120 ° , A B = 3 , A D = 5 \angle A=120°,\ AB=3,\ AD=5 ∠ A = 120° , A B = 3 , A D = 5 (a) B D 2 = 3 2 + 5 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 cos 120 ° = 34 + 15 = 49 ⇒ B D = 7 BD^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120°=34+15=49 \Rightarrow BD=7 B D 2 = 3 2 + 5 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 cos 120° = 34 + 15 = 49 ⇒ B D = 7 (a)＝(4) 7 。
(b) △ABDの面積 = 1 2 ⋅ 3 ⋅ 5 sin 120 ° = 15 3 4 =\dfrac12\cdot3\cdot5\sin120°=\dfrac{15\sqrt3}{4} = 2 1 ⋅ 3 ⋅ 5 sin 120° = 4 15 3 s = 10 s=10 s = 10 = 10 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 10 3 =\sqrt{10\cdot3\cdot2\cdot5}=10\sqrt3 = 10 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 10 3 = 15 3 4 + 10 3 = 55 3 4 =\dfrac{15\sqrt3}{4}+10\sqrt3=\dfrac{55\sqrt3}{4} = 4 15 3 + 10 3 = 4 55 3 (b)＝(2) 55 3 4 \dfrac{55\sqrt3}{4} 4 55 3 。
問19 正解：(3) 〔数学・三角形の高さ〕 難易度：標準
AB=5, BC=6, CA=7。ヘロンで s = 9 s=9 s = 9 = 9 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 6 6 =\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt6 = 9 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 6 6 h = 2 × 面積 C A = 2 × 6 6 7 = 12 6 7 h=\dfrac{2\times\text{面積}}{CA}=\dfrac{2\times6\sqrt6}{7}=\dfrac{12\sqrt6}{7} h = C A 2 × 面積 = 7 2 × 6 6 = 7 12 6 (3) 12 6 7 \dfrac{12\sqrt6}{7} 7 12 6 。
問20 正解：(4) 〔数学・三角関数〕 難易度：標準
sin θ − cos θ = a \sin\theta-\cos\theta=a sin θ − cos θ = a sin 3 θ − cos 3 θ = ( sin θ − cos θ ) ( 1 + sin θ cos θ ) \sin^3\theta-\cos^3\theta=(\sin\theta-\cos\theta)(1+\sin\theta\cos\theta) sin 3 θ − cos 3 θ = ( sin θ − cos θ ) ( 1 + sin θ cos θ ) ( sin θ − cos θ ) 2 = a 2 ⇒ sin θ cos θ = 1 − a 2 2 (\sin\theta-\cos\theta)^2=a^2 \Rightarrow \sin\theta\cos\theta=\dfrac{1-a^2}{2} ( sin θ − cos θ ) 2 = a 2 ⇒ sin θ cos θ = 2 1 − a 2 a ( 1 + 1 − a 2 2 ) = a ( 3 − a 2 ) 2 a\left(1+\dfrac{1-a^2}{2}\right)=\dfrac{a(3-a^2)}{2} a ( 1 + 2 1 − a 2 ) = 2 a ( 3 − a 2 ) (4) a ( 3 − a 2 ) 2 \dfrac{a(3-a^2)}{2} 2 a ( 3 − a 2 ) 。
問21 正解：(1) 〔数学・極値〕 難易度：標準
f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x + b f'(x)=3x^2+2ax+b f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x + b − 1 , 3 -1,3 − 1 , 3 − 2 a 3 = 2 ⇒ a = − 3 -\dfrac{2a}{3}=2 \Rightarrow a=-3 − 3 2 a = 2 ⇒ a = − 3 b 3 = − 3 ⇒ b = − 9 \dfrac b3=-3 \Rightarrow b=-9 3 b = − 3 ⇒ b = − 9 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x − 2 f(x)=x^3-3x^2-9x-2 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x − 2 f ( 3 ) = − 29 , f ( − 1 ) = 3 f(3)=-29,\ f(-1)=3 f ( 3 ) = − 29 , f ( − 1 ) = 3 f ( 3 ) − f ( − 1 ) = − 32 f(3)-f(-1)=-32 f ( 3 ) − f ( − 1 ) = − 32 (1) −32 。
問22 正解：(1) 〔数学・対数方程式〕 難易度：標準
log 3 x + log 3 ( x − 8 ) = 2 ⇒ log 3 x ( x − 8 ) = 2 ⇒ x ( x − 8 ) = 9 ⇒ x 2 − 8 x − 9 = 0 ⇒ ( x − 9 ) ( x + 1 ) = 0 \log_3 x+\log_3(x-8)=2 \Rightarrow \log_3 x(x-8)=2 \Rightarrow x(x-8)=9 \Rightarrow x^2-8x-9=0 \Rightarrow (x-9)(x+1)=0 log 3 x + log 3 ( x − 8 ) = 2 ⇒ log 3 x ( x − 8 ) = 2 ⇒ x ( x − 8 ) = 9 ⇒ x 2 − 8 x − 9 = 0 ⇒ ( x − 9 ) ( x + 1 ) = 0 x > 8 x>8 x > 8 x = 9 x=9 x = 9 (1) x=9 。
問23 正解：(1) 〔数学・ベクトルの最小〕 難易度：標準
a ⃗ + x b ⃗ = ( 1 − x , 2 + 3 x ) \vec a+x\vec b=(1-x,\,2+3x) a + x b = ( 1 − x , 2 + 3 x ) ∣ a ⃗ + x b ⃗ ∣ 2 = ( 1 − x ) 2 + ( 2 + 3 x ) 2 = 10 x 2 + 10 x + 5 |\vec a+x\vec b|^2=(1-x)^2+(2+3x)^2=10x^2+10x+5 ∣ a + x b ∣ 2 = ( 1 − x ) 2 + ( 2 + 3 x ) 2 = 10 x 2 + 10 x + 5 x = − 1 2 x=-\dfrac{1}{2} x = − 2 1 2 = 10 ⋅ 1 4 − 5 + 5 = 5 2 ^2=10\cdot\dfrac14-5+5=\dfrac52 2 = 10 ⋅ 4 1 − 5 + 5 = 2 5 = 5 2 =\sqrt{\dfrac52} = 2 5 (1) x = − 1 2 x=-\dfrac12 x = − 2 1 5 2 \sqrt{\dfrac52} 2 5 。
問24 正解：(a)→(4)、(b)→(4) 〔数学・指数〕 難易度：やや難
a = 1 3 , b = 1 4 a=\dfrac13,\ b=\dfrac14 a = 3 1 , b = 4 1 (a) ( a 1 / 6 + b 1 / 6 ) ( a 1 / 6 − b 1 / 6 ) ( a 2 / 3 + a 1 / 3 b 1 / 3 + b 2 / 3 ) (a^{1/6}+b^{1/6})(a^{1/6}-b^{1/6})(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}) ( a 1/6 + b 1/6 ) ( a 1/6 − b 1/6 ) ( a 2/3 + a 1/3 b 1/3 + b 2/3 ) = a 1 / 3 − b 1 / 3 =a^{1/3}-b^{1/3} = a 1/3 − b 1/3 ( X − Y ) ( X 2 + X Y + Y 2 ) = X 3 − Y 3 = a − b (X-Y)(X^2+XY+Y^2)=X^3-Y^3=a-b ( X − Y ) ( X 2 + X Y + Y 2 ) = X 3 − Y 3 = a − b a − b = 1 3 − 1 4 = 1 12 a-b=\dfrac13-\dfrac14=\dfrac{1}{12} a − b = 3 1 − 4 1 = 12 1 (a)＝(4) 1 12 \dfrac{1}{12} 12 1 。
(b) a b 3 ⋅ a 3 b 4 3 a b 5 3 \dfrac{\sqrt{ab^3}\cdot\sqrt[3]{a^3b^4}}{\sqrt{a\sqrt[3]{b^5}}} a 3 b 5 a b 3 ⋅ 3 a 3 b 4 a 1 ⋅ b 2 = a b 2 a^1\cdot b^2=ab^2 a 1 ⋅ b 2 = a b 2 a b 2 = 1 3 ⋅ 1 16 = 1 48 ab^2=\dfrac13\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{48} a b 2 = 3 1 ⋅ 16 1 = 48 1 (b)＝(4) 1 48 \dfrac{1}{48} 48 1 。
問25 正解：(1) 〔数学・積分方程式〕 難易度：やや難
x f ( x ) = 3 x 4 − 6 x 2 + 2 + ∫ 2 x f ( t ) d t xf(x)=3x^4-6x^2+2+\displaystyle\int_2^x f(t)\,dt x f ( x ) = 3 x 4 − 6 x 2 + 2 + ∫ 2 x f ( t ) d t x x x f ( x ) + x f ′ ( x ) = 12 x 3 − 12 x + f ( x ) ⇒ f ′ ( x ) = 12 x 2 − 12 ⇒ f ( x ) = 4 x 3 − 12 x + C f(x)+xf'(x)=12x^3-12x+f(x) \Rightarrow f'(x)=12x^2-12 \Rightarrow f(x)=4x^3-12x+C f ( x ) + x f ′ ( x ) = 12 x 3 − 12 x + f ( x ) ⇒ f ′ ( x ) = 12 x 2 − 12 ⇒ f ( x ) = 4 x 3 − 12 x + C x = 2 x=2 x = 2 2 f ( 2 ) = 48 − 24 + 2 = 26 ⇒ f ( 2 ) = 13 2f(2)=48-24+2=26 \Rightarrow f(2)=13 2 f ( 2 ) = 48 − 24 + 2 = 26 ⇒ f ( 2 ) = 13 4 ⋅ 8 − 24 + C = 13 ⇒ C = 5 4\cdot8-24+C=13 \Rightarrow C=5 4 ⋅ 8 − 24 + C = 13 ⇒ C = 5 f ( x ) = 4 x 3 − 12 x + 5 f(x)=4x^3-12x+5 f ( x ) = 4 x 3 − 12 x + 5 (1) f ( x ) = 4 x 3 − 12 x + 5 f(x)=4x^3-12x+5 f ( x ) = 4 x 3 − 12 x + 5 。
「定積分を含む等式は両辺微分」「∫ a x \int_a^x ∫ a x x = a x=a x = a
出題分析メモ（指導用）
社会・時事（問1〜4） ：選挙権18歳・裁判員制度（6人・刑事）・ノーベル賞・Brexit・GPS捜査・空港民営化。数字と事実の正確さ が問われる。地学（問5・6） ：オゾンホール（フロン・N₂O）、台風（17 m/s・反時計回り）。物理（問7〜15） ：問8（斜方投射）、問13（並列回路の節点法）、問15（電流の向きを読んで磁界の和・差を判断）が要注意。数学（問16〜25） ：有理化のtelescoping・面積の最大・余弦定理・三角・極値・対数・ベクトル・指数・積分方程式と総合的。問16は有理化、問24(a)は X 3 − Y 3 X^3-Y^3 X 3 − Y 3
※本解説の正解・解説は出題文・図に基づき作成。時事系（問1〜4）は出題時点（平成28〜30年前後）の事実に基づく。
